ARMA模型 (Auto-Regressive and Moving Average Model) 是研究時間序列的重要方法, 對於很多經濟時間序列都可建立與其吻合度很高的ARMA模型。同時由於ARMA模型建模思路並不複雜, 對於預測分析的初學者來說上手較快, 所以在經濟量化分析中被廣泛使用。（來源：經濟研究導刊2017，作者：王琛文，中山大學嶺南學院）

一、ARMA模型類型 

(一) 自回歸 (AR) 模型

如果時間序列yt是它的前期值和隨機項的線性函數, 即可表示爲

記爲AR (p) 。實參數

稱爲自回歸係數, 是模型的待估參數。隨機項ut是相互獨立的白噪聲序列, 且服從均值爲0、方差爲σu2的正態分布, 隨機項ut與滯後變量yt-1, yt-2, …, yt-p不相關。 

(二) 移動平均 (MA) 模型

如果時間序列yt是它的當期和前期的隨機誤差項的線性函數, 即可表示爲:yt=ut-θ1ut-1-θ2ut-2-…-θqut-q, 記爲MA (q) 。實參數θ1, θ2, …, θq爲移動平均係數, 是模型的待估參數。引入滯後算子, 並令θ (B) =1-θ1B-θ2B2-…-θqBq, 則MA模型可簡寫爲yt=θ (B) ut。 

(三) 自回歸移動平均 (ARMA) 模型 

AR模型和MA模型均爲ARMA模型的特殊形式, 即對於ARMA (p, q) , 若階數q=0, 則是自回歸模型AR (p) ;若階數p=0, 則成爲移動平均模型MA (q) 。

引入滯後算子B, 該模型可簡記爲:Ф (B) yt=θ (B) ut。

ARMA (p, q) 過程的平穩條件是滯後多項式Ф (B) 的根均落在單位圓外, 可逆條件是θ (B) 的根都在單位圓外。可以證明, 滿足上述條件時, ARMA (p, q) 模型等價於無窮階的AR過程或者無窮階的MA過程。

通常, 使用時間序列u的自相關係數 (AC) 和偏自相關係數 (PAC) 去識別ARMA (p, q) 模型。

對於AR (p) 模型, 其自相關係數隨著滯後階數的增加而呈現幾何或震盪式衰減, 而其偏自相關係數在p階截止。

對於MA (q) 模型, 其自相關係數在q階後截尾, 其偏自相關係數隨滯後階數的增加呈現幾何或震盪式衰減。

對於ARMA (p, q) 模型, 其自相關係數隨著滯後階數的增加而呈現幾何式或震盪式衰減, 並在q階後趨於0, 其偏自相關係數隨著滯後階數的增加而呈現幾何式或震盪式衰減, 並在p階後趨於0。

在實際識別中, 需注意: (1) 對於不顯著的ACF及PACF, 可根據需要認爲該係數爲0; (2) 對滯後階數較大的孤立數值可不理會; (3) 時間序列觀察點的個數儘量取大一些。

建立ARIMA模型後, 需對其穩定性進行檢驗, 常用的三種檢驗方法爲: (1) 特徵根分布, 模型的特徵根應全部分布在單位圓外; (2) 殘差正態性, 採用QQ-plot檢驗殘差的正態性, 若殘差不滿足正態分布, 則說明模型存在偏差; (3) 殘差ACF和PACF, 殘差應爲相互獨立的白噪聲序列。

當ARIMA模型通過診斷後, 需要選擇統計性質較好的模型。具體可選用的方法有:選擇R方較高、參數統計性最顯著的模型;選擇AIC或BIC信息準則較小的模型;選擇預測精度較高的模型。

ARMA模型對很多經濟時間序列數據, 如貨幣供應量、國民生產總值等, 均有較好的預測精度, 也是目前應用較爲廣泛的計量模型。同時, 由於ARMA模型本身的形式和數學推導均不算複雜, 也是預測分析初學者學習計量模型的最好選擇之一。筆者在本文將ARMA模型的幾種形式和使用方法進行了詳細的介紹, 希望對各位讀者對此模型的掌握有所幫助。

[1]易丹輝.數據分析與Eviews應用[M].北京:中國人民大學出版社, 2009.

[2]高鐵梅.計量經濟分析方法與建模——Eviews應用及實例[M].北京:清華大學出版社, 2006.

[3]劉斌.應用計量經濟學[M].北京:中國金融出版社, 2010.